Tek gruplu nötron difüzyon denkleminin kuadratik sınır elemanları metodu ile çözülmesi

Abstract

NÖTRON DIFUZYON DENKLEMİNİN KUADRATIK SINIR ELEMANLARI METODU İLE ÇÖZÜMÜ ÖZET Sınır elemanlar yöntemi, 1980'li yılların başından beri Matematiksel Fizik ve mühendisliğin pek çok dalında uygulama alam bulmuştur. Yöntem giderek sonlu fark ve sonlu elemanlar gibi alternatif yöntemlerin yerini almaya başlamıştır. Sınır elemanları yöntemi fiziksel bir problemi betimleyen diferansiyel denklemin, Green fonksiyonları aracılığıyla sadece bölge sınırlarında bilinmeyen içeren bir integral denkleme dönüştürülmesi ilkesine dayanmaktadır. Bu nedenle, ortaya çıkan doğrusal sistemin boyutları alternatif yöntemlere göre çok küçülmekte, adeta iki boyutlu bir problem tek boyutlu bir probleme dönüşmektedir. Böylece bilgisayar zamanı önemli ölçüde azalmaktadır. Sınır elemanlar yöntemi bu üstünlüğüne karşın bazı zorluklar da içermektedir. Bunlardan ilki sınır integrallerinin bazılarının hesabının tekillik içermesidir. Diğeri ise ortaya çıkan doğrusal sistemin simetrik olmayan ve dolu bir yapıda olmasıdır. Sımr elemanlar yöntemi 1990'lı yılların başlarından beri nötron difüzyonu alanında da uygulanmaktadır. Yöntemi nötron difüzyon denklemine uygulamak ısı transferi ve gerilme analizi gibi pek çok mühendislik problemine göre zorluklar içermektedir. Bu zorluk temelde difüzyon denkleminin bir özdeğer özvektör problemi olmasından kaynaklanmaktadır. Daha önceki çalışmalarda, nötron difüzyon denkleminin çözümlerinde sabit ve doğrusal sımr elemanları kullanılmıştı. Bu çalışmada eğrisel sınırlara sahip sistemleri de modelleyebilecek ikinci derece (kuadratik) sımr elemanları uygulanması yoluna gidilmiştir. Bu amaçla koordinat dönüşümlerine dayalı bir kuadratik şuur elemanları yöntemi geliştirilmiş ve bu yöntem BENDQ adlı bilgisayar programında uygulanmıştır. Geliştirilen bu yöntem geometri kısıtlamasını ortadan kaldırdığı için, her tür geometriye sahip problemin çözümlenmesi aym programla gerçekleştirilebilmektedir. BENDQ programı ile gerek sabit kaynak gerekse yetkinlik özdeğer problemleri çözümlenebilmektedir. Bu çalışmada tekillik içermeyen sımr integrallerinin hesaplanmasında on noktalı standart Gauss Legendre karelemesi, tekillik içeren integrallerinin hesaplanmasında ise yine on noktalı Logaritmik Gauss karelemesi kullanılmıştır. Ortaya çıkan doğrusal sistemin çözümü Crout algoritması ile gerçekleştirilmiştir. ıxBu çalışmanın ilk bölümünde BEM'in tarihsel gelişimi özetlenmiş Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM) ile bir karşılaştırma yapılmış ve bu konuda Nötron Difüzyon Denklemi üzerine yapılan çalışmalar sunulmuştur, ikinci bölümde yöntemin tanıtılması amaçlanmış ve basit bir örnek üzerinde açıklanmıştır. Üçüncü bölüm yöntemin Nötron Difüzyon Denklemine uygulanması üzerine ayrıntılı bilgiler içerirken son bölüm bu uygulama sonucu geliştirilen programın birkaç problem üzerinde doğrulanması ve bu sonuçların analitik çözümlerle karşılaştırılmasını içermektedir. Son olarak çalışmadan çıkarılan sonuçlar ve düşünceler yer almaktadır. Fortran 77 dilinde yazılan BENDQ programı LINUX işletim sistemi altındaki kişisel bilgisayarlarda koşulmuştur.

SOLVING THE NEUTRON DIFFUSION EQUATION USING THE BOUNDARY ELEMENT METHOD SUMMARY Boundary element method has been in practical application in mathematical physics and many branches of engineering since the begining of the 1980's. This method has gradually started to take place of alternative methods (Finite difference and finite element methods). To change a differential equation, which describes a physical problem, into an integral equation, which contains unknown functions only at the boundary of the region, by means of Green functions is the basis of the Boundary Elements Method (BEM). Thus the dimension of the linear system reduces compared with that of alternative methods. As if a two dimensional problem changed into a one- dimensional problem, so computer time considerably decreases. Although the BEM has these domination, it has some difficulties. First of all, some boundary integral equations have singular terms. Another one is the nonsymmetrical and full nature of the linear system. BEM has been applied to neutron diffusion equation since the begining of the 1990's. The application of BEM to the neutron diffusion equation contains some difficulties compared to the other applications of BEM to engineering problems such as heat transfer and tension analysis. The main reason for these difficulties is that the diffusion equation is an eigenvalue eigenfunction problem. Constant and linear elements were used to solve the neutron diffusion equation in previous studies. This condition made it difficult to models the nuclear systems whose boundaries are curved. In this study quadratic boundary elements have been applied. To do this, quadratic boundary elements method, which are based on changing coordinates, have been developed and the developed method has been applied to a computer program named BENDQ. The developed method also has been applied to irregular geometry. BENDQ is capable of solving either fixed source or criticality eigenvalue type, nuclear system problems. In this study the integrals, which do not have singular term are solved by using Gauss Legendre quadrature and the integrals, which have singular term are solved by using Logarithmic Gauss quadrature. The number of integration points for the XIboth types of Gauss quadratures was chosen to be 10 for each boundary element. The linear system was solved using the Crout algorithm. The first chapter of this study includes a summary of the historical development of the BEM and a comparison of Finite element method (FEM) and BEM. Also the up to date studies about neutron diffusion equation using BEM are mentioned in this chapter. In the second chapter the method is explained using a simple example. The application of the method to the neutron diffusion equation is discussed in the third chapter. And lastly the developed computer program called BENDQ is applied to some nuclear problems whose analytical solutions are known. The program has been written in FORTRAN 77 and run on personal computer under LINUX operating system. Xll