On the discrete nature of thermodynamics

Abstract

Temelde sistemin enerjisinin ısı ve iş alış-verişi ile ilişkilerini inceleyen termodinamik disiplini, doğa bilimlerinin en eski ve en önemlilerinden biridir. Yaşadığımız bu dünyada veya daha genel olarak evrende tüm süreçlere enerji alış-verişi eşlik ettiğinden aslında her şey bir bakıma termodinamik ile ilgilidir. 1920'lerdeki kuantum devriminden önce bilim camiasında termodinamik en sağlam ve köklü disiplinlerden biri olarak görülmekteydi. Günümüzde ise, kuantum mekaniğinin bize kazandırdığı anlayış sayesinde, fiziğin en oturmuş kabul edilen alanlarından biri olan termodinamikte bile bazı şeyleri yeniden gözden geçirmenin zamanının geldiği anlaşılmaktadır.Termodinamik büyüklüklerin yıllardır sürekli değişkenler oldukları varsayılmıştı. Büyük ölçekli sistemler için doğru olan bu yaklaşım, nano ölçekte kuantum davranışların da sebebi olan maddenin dalga karakterinin önemli hale gelmesi nedeniyle geçerliliğini yitirmektedir. Tezde ilk defa Fermi gazları için termodinamik büyüklüklerin içsel bir kesikli doğası olduğu ve bu özelliğin kuantum etkilerin sistemde hakim olduğu nano ölçeklerde daha belirgin bir şekilde ortaya çıktığı gösterilmiştir. Kuantum etkilerin sistemdeki hakimiyetinden dolayı, nano ölçek ve altında sistemin termodinamiği, kuantum mekaniğinden ayrı incelenemez. Süreklilik yaklaşımı her ne kadar büyük ölçekte ve hatta orta ölçeklerde kullanışlı olsa da, nano sistemlerde geçerli olmayıp hatalı sonuçlar verir. Bu nedenle, nano sistemlerin termodinamik özellikleri hesaplanırken alışılagelmiş klasik yöntemlerin kullanılması doğru olmaz.Parçacık sayısı, iç enerji, entropi, basınç, serbest enerji ve ısı sığası gibi termodinamik büyüklükler tanımları gereği toplam formülleri ile ifade edilir. Klasik termodinamikte hesap ve işlem kolaylığı açısından toplamlar süreklilik yaklaşımı altında integrallerle yer değiştirilir. Bu yer değiştirme sırasında hal yoğunluğu kavramından yararlanılır. Kuantum etkilerinin önemsenmediği büyük ölçekli yapılarda bu işlem hem oldukça iyi sonuçlar verir, hem de termodinamik özelliklerin analitik olarak ifade edilmesini ve bu sayede aralarındaki ilişkilerin kolay görülmesini sağlar. Diğer yandan, kuantum mekaniğinin doğasının bir sonucu olarak küçük ölçekli yapılarda örneğin nano ölçekte kuantum ölçek etkileri termodinamik özellikler üzerinde rol oynamaya başlar.Kuantum mekaniğinin sonucu olarak, tutuklanma arttıkça termodinamik özellikler de ölçeğe ve biçime bağlı hale getirir. Doğal olarak tutuklanma ve/veya parçacık yoğunluğu ne kadar fazlaysa, bu etki o kadar güçlenir.Tez kapsamında; tezin amacının, literatür araştırmasının ve tezin önemli sonuçlarının listelendiği giriş niteliğindeki ilk bölümün ardından ikinci bölümde, tezi anlamak için gerekli olan tüm bilgiler sistemli bir şekilde verilmeye çalışılmıştır. Kuantum istatistiğine giriş yapılmış, dağılım fonksiyonları türetilmiş ve termodinamik büyüklükler tanıtılmıştır. Literatürde toplam formüllerinin integrallerle nasıl yer değiştirildiği incelenmiş ve buna göre termodinamik büyüklükler farklı boyutlarda türetilmiştir. Ardından termodinamik toplamların analitik gösterimine olanak sağlayan Poisson toplam formülü tanıtılmıştır. Tutuklanma değişkeni tanımlanmış ve farklı tutuklanma değerlerinde Poisson toplam formülünün terimleri incelenmiş ve kesikli yapının matematiksel gösterimi yapılmıştır.Termodinamik özelliklerin kesikli doğası, 3., 4., ve 5. bölümlerde sırasıyla 1, 2 ve 3 boyutlu domenlerde ayrı ayrı incelenmiştir. Her bölümde termodinamik büyüklüklerdeki basamaklı ve tepeli yapı ayrı altbaşlıklar altında incelenmiş ve bu yapılara neden olan etmenler açıklanmıştır. Bunlardan kısaca bahsedersek; kuantum etkilerin bir sonucu olan termodinamiğin kesikli yapısı, termodinamik büyüklükler üstünde etkisini basamaklı ve tepeli olmak üzere iki farklı şekilde gösterir. Parçacık sayısı, iç enerji, basınç ve serbest enerji gibi termodinamik büyüklüklerin kimyasal potansiyel ve parçacık sayısı ile değişimlerinde basamaklı bir yapı gözlenmiştir. Bu basamaklı yapı temel olarak Fermi-Dirac dağılım fonksiyonunda Fermi gazlarının ayırt edici bir özelliği olan Pauli dışarlama ilkesi ve kütleli parçacıkların bir özelliği olan ikinci dereceden enerji-momentum ilişkisinin aşırı yoğun ve ileri derece tutuklanmış durumlarda çok belirgin hale gelmesi sonucu gözlemlenir. Belli termodinamik özelliklerin türevleri ile bulunan entropi ve ısı sığası gibi termodinamik büyüklüklerde ise Fermi-Dirac dağılım fonksiyonunun değişimi ya da türevinin tepeli doğası gereği tepeli davranışlar gözlenir. Entropi ve ısı sığasındaki parçacık sayısı ve tutuklanma şiddeti değişimine bağlı tepeli davranış 1, 2 ve 3 boyutta sırasıyla Fermi noktası, Fermi doğrusu ve Fermi yüzeyinin kesikli yapısının sonucu olarak açıklanmıştır.Termodinamik hal fonksiyonlarının farklı değişkenler altında davranışları domenin kaç boyutlu olduğu ile de doğrudan ilişkilidir. Örneğin tek boyutlu yapılarda basamaklı ve tepeli yapılar düzenli bir halde ilerlerken, birden fazla boyutlu yapılarda aynı kuantum enerji seviyesinde birden fazla hal bulunabileceğinden basamaklı ve tepeli yapıların değişimi düzensiz bir hal alır. Fermi gazlarında entropi ve ısı sığası sıfır boyutlu bir yapıda tam olarak sıfır ve tek boyutlu yapılarda neredeyse sıfır iken, birden fazla boyutlu yapılarda anlamlı değerler almaya başlar. Ayrıca literatürde Fermi gazlarında yaklaşık olarak eşit kabul edilen entropi ve ısı sığasının, domendeki tutuklanma arttıkça birbirinden oldukça farklı davrandıkları ve eşit olmadıkları gösterilmiştir.Bazı termodinamik özellikler için gerek sürekli davranışı, gerek de kesikli davranışı temsil edebilen analitik bağıntılar türetilmiştir. Termodinamik özelliklerin tutuklanma değişkeni ile ve ölçek ile olan bağımlılıkları incelenmiş ve 2 ve 3 boyuttaki eş yönlü olmayan tutuklanmalarda entropi ve ısı sığasında salınımlar gözlenmiştir. Eş yönlü değişimlerde ise bu salınımlar yerini daha pürüzsüz değişimlere bırakmıştır.Tezin son bölümünde ısı sığasındaki tepelerden yola çıkarak nano ölçekte yüksek miktarlarda enerji depolamayı sağlayabilecek bir nano cihaz önerisi ve deneysel çalışma için koşulların bilgisi verilmiştir. Nano ölçekte domenin boyutlarındaki değişim ısı sığasında, literatürdekinin aksine salınımlı bir değişime yol açmaktadır. Tezde yapılan teorik öngörüler, günümüz deneysel koşullarında test edilebilir nicelikte görülmektedir. Isı sığasındaki domene bağlı salınımların deneysel doğrulaması, termodinamik özelliklerin kesikli yapısının da ve tezdeki diğer sonuçların da doğrulaması olacaktır. Bunun yanısıra, günümüz enerji depolama tekniklerine alternatif olabilecek yüksek miktarda ısıl enerji depolama mümkün olabilecektir.Son olarak tezin ek kısmında tezde gereken matematiksel ve termodinamik altyapı için gerekli bilgiler verilmiştir.

Thermodynamics is one of the oldest and most significant disciplines in naturalsciences. Mainly it concerns with energy and its relation to entropy and work. Since weare surrounded by energy, almost every thing in nature is related with thermodynamicsin some way. Before the quantum revolution in 1920's, thermodynamics was oneof the most well-established discipline in the scientific world. On the other side,with the understanding and insight that quantum mechanics gives us now, it mightbe the time to reconsider some things even in well-established areas of physics like thethermodynamics itself.For centuries, it was assumed that thermodynamic quantities have continuous nature,since they represent macroscopic properties of the system. For the first time, weshowed for Fermi gases that thermodynamic quantities intrinsically have discretenature which reveals itself properly in nano scale where quantum effects dominatethe system. One cannot separate quantum mechanics from thermodynamics atnano scale and below. Although continuum approximation is very useful to studythermodynamics of macro systems, in nano scale it apparently fails. Therefore,thermodynamic properties of nano systems cannot be calculated by classical andconventional methods.The proper calculation of thermodynamic quantities in nano scale confined structureshave to be done by using the exact summations of thermodynamic state functions.Converting them to integrals by using density of states concept is not valid in stronglydegenerate and confined structures, since that process eventually vanishes size effects.As confinement increases, wavefunctions of particles start to be affected prominentlyby the boundaries of the domain due to quantum mechanical reasons. This leads to astepwise behavior in the summation of Fermi-Dirac distribution function and since allthermodynamic properties contains the distribution function inside the summations, allof them are affected by the confinement and present discrete behaviors.Two distinct type of discrete behaviors observed in thermodynamic quantities;stepwise and peakwise behaviors. Stepwise behaviors observed in variations ofnumber of particles, internal energy, free energy and pressure with chemical potential,whereas peakwise behaviors observed in variations of entropy and heat capacity withchemical potential, number of particles, confinement parameter and domain size in onedirection. The ones exhibit stepwise behavior contains the summation over distributionfunction which generates steps and others that exhibit peakwise behavior contains thesummation over the derivative of distribution function (or variance function) whichgenerates peaks. Detailed examination of peakwise behavior in entropy and heat capacity showed that Fermi line and Fermi surfaces are also discrete. These oddphenomena come directly from the quantum nature of Fermi-Dirac statistics.Behaviors of thermodynamic state functions also depend on the dimension ofthe momentum space. In one-dimensional structures, thermodynamic quantitieshave regular discrete nature whereas for multi-dimensional structures, they havequasi-irregular nature due to the degeneracy of energy levels.Effects introduced in this thesis may lead to the development of new nano devicesthat stores thermal energy at nano scale in a more efficient way. Finally, proposalof an experimental verification of discrete and oscillatory nature in thermodynamicquantities is discussed.