Topolojik toplamlar ve bazı sonuçlar

Abstract

Bu çalışmada, topolojik uzayların boş olmayan ayrık bir ailesinin serbest bileşimi ve ayrık bileşim topolojisi üzerine araştırmalar yer almaktadır.Genel bilgiler verilip topolojik uzaylar tanıtıldıktan sonra, serbest bileşim için iki yönlü yaklaşımdan bahsedilmiştir. İlk olarak; verilen bir topolojik uzayın alt uzayları ele alınmış ve bu alt uzayların belirli koşulları sağlaması durumunda alınan topolojik uzayın alt uzaylarının serbest bileşimi oluşu anlatılmıştır. İkinci olarak; topolojik uzayların boş olmayan ayrık bir ailesi için uzayının, ileride bahsedilecek olan ayrık birleşim topoloji ile verilen ailenin serbest bileşimi olacağı anlatılmıştır.Çalışmanın devamında yukarıda bahsedilen yaklaşımlardan ikincisi ele alınarak araştırmalar sürdürülmüştür. Öncelikle ayrık birleşim topolojisinin özel durumlarından, sonrasında serbest bileşimin açık ve kapalı alt kümeleri tanımlanarak iç ve kapanış kavramlarından bahsedilmiştir. Araştırmanın ilerleyen bölümlerinde ise topolojik toplamlar üzerinde taban, sürekli dönüşümler, ayırma aksiyomları ve yakınsaklık ile ilgili elde edilen sonuçlar ispatlarıyla birlikte verilmiştir.Bu araştırma ile, tanıdığımız topolojik uzayları için bilinen tanım ve teoremlerden yararlanılarak topolojik toplamı için tanımlar, teoremler ve beraberinde bir takım sonuçlar elde edilmiştir

This study includes free union of a disjoint non-empty family of topological spaces and research on the discrete union topology.After general information of topology were given and topological spaces were introduced, the release of two comprehensive approaches to free union are discussed. Firstly, subspaces of a given topological space are considered, and topological spaces taken in case of certain conditions are provided by these subspaces are described by the free union. Secondly, it has been told that for a family of disjoint non-empty topological space, the topological space with the discrete topology that will be discussed future, will be free union of the given family.The continuation of the study, research was conducted by taking the second directional approach mentioned above. Primarily, the special case of disjoint union topology has been alluded, then open and closed subsets of free union have been defined, and inner and closing conceptions have been discussed. The part of the research in progress, the results related with base on the topological sum, continuous transformations, separation axioms and convergence are provided with their proofs.With this research, definitions, theorems and some results for topological sum have been obtained by using the known definitions and theorems for the topological spaces.