Periyodik sınır şartlı yarı lineer hiperbolik denklemler için Fourier yöntemi

Abstract

Yarı lineer hiperbolik denklemli başlangıç ve periyodik sınır değer (karışık) probleminin D≔{(x,t)0<x<2π,0<t<T<∞} bölgesinde çözümünün varlığı ve tekliğini göstermektir. Problem aşağıdaki şekilde verilmektedir:(∂^2 u)/(∂t^2 )-a^2 (∂^2 u)/(∂x^2 )=f(x,t,u); (0<t<T; 0<x<2π; -∞<u<∞)u(x,0)=φ(x),u_t (x,0)=ψ(x); (0≤x≤2π) u(0,t)=u(2π,t),u_x (0,t)=u_x (2π,t); (0≤t≤T)Burada φ(x) ve ψ(x), [0,2π] aralığında, f(x,t,u), D×(-∞,∞) bölgesinde tanımlı ve gerekli özelliklere sahip bilinen fonksiyonlardır. u(x,t) ise aranan (çözüm) fonksiyondur. Çözümde ileride açıklayacağımız Fourier yönteminden yararlanıyoruz. Çözümün varlığının ve tekliğinin ispatında ise klasik yöntem olan art arda yaklaşımlar metodundan faydalanıyoruz.

The main topic of this work is to show the existence and uniqueness of the solution of the semi-lineer hyperbolic equation with the initial and periodic boundary value (mixed) problem in the domain D ≔{(x,t)0<x<2π,0<t<T<∞} problem is as follows:(∂^2 u)/(∂t^2 )-a^2 (∂^2 u)/(∂x^2 )=f(x,t,u); (0<t<T; 0<x<2π; -∞<u<∞)u(x,0)=φ(x),u_t (x,0)=ψ(x); (0≤x≤2π) u(0,t)=u(2π,t),u_x (0,t)=u_x (2π,t); (0≤t≤T)Here, φ(x) and ψ(x) are the known functions which are defined on the interval [0,2π] and f(x,t,u) is the known function which is defined on the domain D×(-∞,∞). These functions satisfy the necessary canditions. u(x,t) is the desired solution function. For he solution, we use the Fourier method which we will explain later. Fort the proof of the existence and uniqueness of the solution, we use the successive approximations.