Sınırlı kısmen sıralı kümeler üzerinde üçgensel normların direkt çarpımı ve cebirsel özellikleri

Abstract

Bu çalışmada, üçgensel normların sonlu zincirler, çarpım kafesleri, reel birim aralık ve sınırlı kısmen sıralı kümeler üzerindeki özellikleri incelenmiştir. İdempotent elemanlar, sıfır bölenler ve nilpotent elemanlar kümesinin bir t-normla ve birbirleriyle olan ilişkileri ortaya konmuştur. T- normların Arşimedyan özelliği, özellikle köşegen eşitsizlikle olan ilişkisiyle ele alınmıştır. Çalışmanın ana konusu çarpım kısmen sıralı kümeleri üzerindeki t-normların direkt çarpımıdır. Sıfır bölensiz t-normların direkt çarpımının da yine sıfır bölensiz olduğu gösterilir. Arşimedyan özelliğinin daha zayıf bir versiyonu ortaya konmuş ve böyle pseudo-arşimedyan t-normların direkt çarpımının da yine pseudo-arşimedyan olduğu gösterilmiştir. Sıfır bölenler kümesinin tanımında olduğu gibi kısaltma kuralının bir genelleştirilmesi verilmiştir. Kısaltma özelliğini sağlayan t-normların direkt çarpımının da yine kısaltma özelliğini sağladığı görülmüştür. Bir çarpım kafesi üzerindeki t-normların direkt çarpımı bazı özel morfizma davranışı gösteren t- normlar olarak karakterize edilirler. Sonuç olarak, birim reel kare durumundaki dönüşümler, bir otomorfizma mantığıyla direkt çarpım yapısını korurlar.

In this study, triangular norms are studied in the general setting of bounded partially ordered sets, with accent on finite chains, product lattices and the real unit square. The sets of idempotent elements, zero divisors and nilpotent elements associated to a t-norm are introduced and related to each other. The Archimedean property of t-norms is discussed, in particular its intercourse to the diagonal inequality. The main subject of the study is the direct product of t-norms on product posets. It is shown that the direct product of t-norms without zero divisors is again a t-norm without zero divisors. A ineffective version of the Archimedean property is presented and it is shown that the direct product of such pseudo-Archimedean t-norms is again pseudo- Archimedean. A generalization of the cancellation law is put forward, in the same logic as the definition of the set of zero divisors. It is shown that the direct product of cancellative t-norms is again cancellative. Direct products of t-norms on a product lattice are characterized as t-norms with partial mappings that show some particular morphism conduct. Finally, it is shown that in the case of the real unit square, transformations by means of an automorphism safe guard the direct product formation.