Negatif akımlı pozitif sıçramalı iki tutan bariyerli yarı-markov rastgele yürüyüş süreçleri

Abstract

Özellikle stok kontrol, kuyruk ve güvenilirlik teorilerinin pek çok önemli problemi, iki bariyerli rastgele yürüyüş süreçleri yardımıyla ifade edilir. Bu süreçler hakkında pek çok ilginç çalışma yapılmıştır. Fakat bu çalışmaların çoğu, sonlu durum uzayına sahip rastgele yürüyüş süreçleri için sınır-değer problemlerine aittir. Sınır-değer problemleri önemli olmasına rağmen, ele alınan süreçlerin kendi karakteristiklerinin incelenmesi de oldukça önemlidir. Bu konuda da bazı çalışmalar mevcuttur. Ancak bu çalışmaları daha da ilerletmek gerekir. Özellikle, rastgele yürüyüş süreçlerinin yerine, bunlardan daha genel bir sınıf olan negatif akımlı pozitif sıçramalı yarı-Markov rastgele yürüyüş süreçlerine bakmak daha ilginçtir.Bu çalışmada, 0 (sıfır) ve seviyelerinde iki tutan bariyere sahip negatif akımlı pozitif sıçramalı yarı-Markov rastgele yürüyüş süreci ve bu sürecin önemli sınır fonksiyonelleri sayılan, sürecin ilk kez seviyesindeki tutan bariyere ulaşma anı ve sürecin ilk kez 0 (sıfır) seviyesindeki tutan bariyere düşme anı matematiksel olarak kurulmuştur. Ayrıca rasgele değişkenlerinin Laplace dönüşümleri, beklenen değerleri ve varyansları için açık formüller verilmiştir. Sürecin iki sıçrama anı arasındaki sürenin üstel veya Erlang dağılımına sahip olması özel durumlarında, ın Laplace dönüşümleri, beklenen değerleri ve varyansları için formüller elde edilmiştir.Anahtar Sözcükler: Stokastik süreç, yarı-Markov rastgele yürüyüş süreci, negatif akımlı pozitif sıçramalı rastgele yürüyüş süreci, tutan bariyer, Laplace dönüşümü, Erlang dağılımı, üstel dağılım.

In a particular, a number of very interesting problems of stock control, queuing and reliability theories can be expressed by means of random walk processes with two barriers. Numerous studies have been done about these processes because of their theoretical and practical importance. But most of these studies belong to the boundary-value problems for the random walk processes which has a finite state space. The boundary-value problems are important, so are the investigation of proper characteristics of processes at hand. For this reason although there are some studies on proper characteristics of random walk processes with two barriers, more detailed studies in this field have to carried out. Especially, it is more interesting to look at semi-Markov random walk processes with negative drift and positive jumps that is a general class instead of random walk processes.In this study, the semi-Markovian random walk processes with negative drift and positive jumps which has delaying barrier at 0 (zero) and at and the important boundary functionals of it, the first reaching moment of the process into the delaying barrier at , and the first falling moment of the process into the delaying barrier at 0 (zero), which are constructed mathematically. Also, explicit formulae are given for the Laplace transformation, expected value and variances of the random variables . In special cases in which the quantity between two jump instants has exponential or Erlang distributions formulae are obtained for the Laplace transformation, expected value and variances of the random variables .Key Words: Stochastic process, semi-Markovian random walk process, random walk processes with negative drift and positive jumps, delaying barrier, Laplace transformation, Erlang distribution, exponential distribution.