Konveks fonksiyon sınıfları için kesirli integraller içeren eşitsizlikler

Abstract

Eşitsizlikler teorisi matematik, fizik ve mühendislik gibi bilim dallarında önemli yere sahiptir. Birçok araştırmacının ilgi alanına giren Hermite-Hadamard eşitsizliği ile ilgili gerek klasik gerekse kesirli integraller yardımıyla sayısız çalışma ve tezler yayımlanmıştır. Birkaç farklı kesirli integral operatörü yardımıyla konveks fonksiyonların bazı sınıfları için Hermite-Hadamard tipli yeni eşitsizliklerin elde edildiği bu tez altı bölümden meydana gelmektedir. İlk bölüm giriş için ayrılmış olup eşitsizlik ve kesirli integraller ile ilgili, tarihsel süreci de içine katarak genel bilgilerin bir derlemesi niteliğinde verilmiştir. İkinci bölüm, araştırmamızda kullanılan temel kavramlar, Beta ve Gama gibi bazı özel fonksiyonlar, konveks fonksiyon sınıflarından birkaçının tanım ve özellikleri, ayrıca teorem ispatlarında kullanılacak olan birkaç eşitsizlik çeşidi ile ilgili bilgileri içermektedir. Üçüncü bölümde Riemann-Liouville kesirli integralleri, uyumlu kesirli integraller, genelleştirilmiş kesirli integraller ve genelleştirilmiş k-kesirli integrallerin tanım ve özelliklerine yer verilmiştir. Ayrıca üçüncü bölümde özellikle Riemann-Liouville kesirli integralleri yardımıyla literatürde bulunan ve bu çalışmada daha genel halleri elde edilen bazı lemmalar ile bu lemmalar yardımıyla elde edilen sonuçlar bulunmaktadır. Dördüncü bölümde uyumlu kesirli integraller, genelleştirilmiş kesirli integraller ve genelleştirilmiş k-kesirli integraller yardımıyla bazı konveks fonksiyon sınıfları için Hermite-Hadamard eşitsizliğinin bir genelleştirmesi elde edilmiştir. Ayrıca bu integral operatörlerini içeren yeni özdeşlikler ve bu özdeşliklerle beraber, bilinen bazı eşitsizlikleri kullanarak Hermite-Hadamard tipli yeni sonuçlar elde edilmiştir. Araştırmada elde edilen sonuçların, bazı özel koşullar altında, literatürde var olan, klasik integraller ve Riemann-Liouville kesirli integralleri yardımıyla elde edilen birtakım sonuçların bir genişlemesi ve genelleştirmesi olduğu gözlenmiştir. Son olarak, tezin beşinci bölümü sonuç ve öneriler, altıncı bölümü ise tezde kullanılan kaynaklara ayrılmıştır.

The theory of inequalities has an important role in science such as mathematics, physics and engineering. Numerous studies and theses have been published about Hermite-Hadamard inequality, which is of interest to many researchers, with the help of classical or fractional integrals. This thesis, in which new inequalities of the Hermite-Hadamard type are obtained for some classes of convex functions with the aid of a few different fractional integral operators, comes in six parts. The first part is devoted to input and is given as a compilation of general information about inequality and fractional integrals, including historical process. The second part contains the basic concepts used in our research, some special functions such as Beta and Gamma, the definitions and properties of several of the classes of convex functions, as well as information on a few types of inequality that will be used in theorem proofs. In the third chapter, Riemann-Liouville fractional integrals, conformable fractional integrals, generalized fractional integrals and generalized k-fractional integrals are introduced. In addition, in the third part, there are some lemmas which are found in the literature with the help of Riemann-Liouville fractional integrals and which are obtained more general conditions in this study, and the results obtained with the help of these lemmas. In the fourth chapter, a generalization of the Hermite-Hadamard inequality for some convex function classes has been obtained by using conformable fractional integrals, generalized fractional integrals and generalized k-fractional integrals. In addition, new identities including these integral operators and new results of Hermite-Hadamard type are obtained by using some known inequalities together with these identities. It has been observed that the results obtained in the research are an extension and generalization of some of the results obtained with the help of classical integrals and Riemann-Liouville fractional integrals which exist in the literature under certain special circumstances. Finally, the fifth part of the thesis deals with the conclusion and the proposal, the sixth chapter is for the resources used in the thesis.