Variational approach to slope stability

Abstract

vıı ÖZET Bu çalışmanın amacı, şev stabilitesi problemlerinin virtual iş- denklemlerine dayanan variasyonel analiz yöntemi ile tahkikinin geçerliliğini kanıtlamaktır. Öncelikle, sürtünmesiz zeminde yer alan düşey yarma stabilite si incelenmiştir. Bu problem virtual iş denklemine dayanan varias yonel ekstrimizasyon ile dairesel kayma yüzeyi ve buna denk gelen gerilme dağılımı bulunarak çözülmüştür. Bu yönteme karşı yapılan eleştirilerin aksine elde edilen çözümün güçlü bir minimum oluştu racak gerekli ve yeterli şartları sağladığı gösterilmiştir. Ayrıca, bu yaklaşımla elde edilen çözüm için üst ve alt sınırların çakıştığı da ortaya çıkmıştır. Böylece, literatürde verilen aşağıdaki sınırlar 3.64--^~$H <3.83 C ' Y er r aşağıda verilen tam çözüme indirgenmiştir. H ı§3.78- - er y Sonra, homojen c-£ zeminde yer alan basit şev problemi incelen miştir. Bu problem^.de benzer şekilde incelenip logaritmik spiral bir kayma yüzeyi ve buna karşı gelen gerilme dağılımı bulunmuştur. Güçlü bir minimum için gerekli ve yeterli şartlar sağlanmıştır. Üst ve alt sınırların çakıştığı gösterilmiştir. Nelder ve Mead' in (1965) geliş tirdikleri çok boyutlu yokuşaşğı simpleks metodu ile değişen şev eğimleri ve zemin kuvvet parametreleri için çözümler elde edilmiştir. Sonuçlar grafik olarak gösterilip, yalnızca moment dengesini sağlayan log-spiral çözümlerle karşılaştırılmıştır. Sonuç olarak, şev stabilitesi problemlerinin tam çözümlerinin elde ediminde virtual iş denklemine dayanan variasyonel analizin kullanımı vurgulanmıştır. Bu yöntemin karışık şev geometrileri, anizotropik zeminler, dış yükleme halleri gibi durumları içermesinin beraberinde getirdiği güçlükler de tartışılmıştır.

V ABSTRACT ihe purpose of this study is to show the effectiveness and validity of variational analysis of the slope stability problem based on the virtual worK equation. First, the relatively simple case of a vertical cut in frictionless soil is investigated, The problem is solved by variational extremlzation of the governing virtual worK equation to give forth a circular failure mechanism and corresponding stress distribution. Contrary to several criticisms of the approach, it is proven that the solution satisfies both necessary and sufficient conditions for a strong minimum in variational terms. Further, it is show* that variational extremization of the virtual worK equations provides us with coincident lower- and upper-bounds to our collapse height. Thus, the present solution for the collapse height of a vertical cut in frictionless soil bounded between c c 3. 641 Hçp < 3. 63 y y is improved to an exact solution for the collapse height, given by c Hcp - 3. 76 y Then, stability of a rectilinear slope in homogeneous c-<3> soil is investigated. The problem is solved in a similar manner to give forth a logarithmic spiral failure mechanism and corresponding stress distribution. Necessary and sufficient conditions for a strong minimum are satisfied. Lower- andvx upper-bounds are shown to coincide. Solutions to a range of slope angles and varying shear strength parameters are obtained by utilizing a nonlinear optimization scheme based on the downhill sinplex method in rnaltidimensions developed by Helder and Head (1965). Results are plotted and compared with previous log-spiral solutions based on moment equilibrium only. Conclusively, the direct variational extremisation of the virtual worK equation is stressed towards an exact solution of stability problems. Difficulties in generalising the approach to cover effects such as complex soil geometry, soil anisotropy, external loading, etc. is discussed.