B-spline fonksiyonlar yardımıyla sonlu elemanlar yönteminin bazı uygulamaları

Abstract

Kısmi türevli diferansiyel denklemler, lineer ve lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler olarak iki sınıfta incelenebilir. Uygulama alanlarına bağlı olarak da çeşitleri kendi içlerinde artmaktadır (Debnath, 2011). Bu yüksek lisans tezinde, zamana ve konuma bağlı bazı bir boyutlu lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler için nümerik çözüm araştırılacaktır. Model problem olarak, KdV Burgers, Gardner, Adveksiyon-Difüzyon, MRLW denklemleri seçilecektir. Çözümleri araştırırken zaman ayrıştırması için Crank-Nicolson yöntemi, konum ayrıştırması için ise Galerkin yöntemi çalışılacaktır. Bu nümerik yöntemler, model problemlere uygulanacaktır.İlk bölümde ileriki bölümlerde ihtiyaç duyulacak bazı temel kavramlar açıklanmıştır. İlk olarak solitary dalgalar, soliton, hata normları, sonlu farklar yöntemi, sonlu elemanlar yöntemi, galerkin yöntemi ve kollokasyon yöntemi tanıtılmıştır. Spline fonksiyon kavramı anlatıldıktan sonra kübik B-spline ve genişletilmiş kübik B-spline fonksiyonlar tanımlanmıştır. Bu bölümün sonunda, sonraki bölümlerde sayısal çözümü araştırılacak olan KDV Burger Denklemi, Gardner Denklemi, Adveksiyon - Difüzyon Denklemi, Düzenlenmiş Uzun Dalga Denklemi için literatür taraması yapılmıştır.Diğer bölümlerde sırasıyla, KDV Burger, Gardner, Adveksiyon - Difüzyon, Düzenlenmiş Uzun Dalga (MRLW) denklemlerinin genişletilmiş kübik B-spline yöntemiyle sayısal olarak çözümleri incelenmiştir. Her biri için ikişer test problemi, tam sonuçlarla önerilen yöntemi karşılaştırmak için kullanılmıştır.Son bölümde genişletilmiş kübik B-spline yönteminin bu denklemlere uygulanışı hakkında elde edilen sonuçlar karşılaştırılmıştır.

Partial differential equations can be examined in two classes as linear and nonlinear partial differential equations. Depending on the application areas, the varieties are increasing in themselves. In this master thesis, the numerical solution will be investigated for some one-dimensional nonlinear partial differential equations depending on time and position. As the model problem, KdV Burgers, Gardner, Advection-Diffusion, MRLW equations will be chosen. while researching solutions, Crank-Nicolson method will be used for time parsing and Galerkin method will be used for location parsing. These numerical methods will be applied to model problems. In the first part, some basic concepts that will be needed in the following chapters are explained. Firstly, solitary waves, soliton, error norms, finite difference method, finite element method, galerkin method and collocation method are introduced. After explaining the concept of spline function, cubic B-spline and expanded cubic B-spline functions are defined. At the end of this chapter, literature review has been made for KDVB Equation, Gardner Equation, Advection-Diffusion Equation, MRLW Equation, whose numerical solution will be investigated in the following chapters.In other chapters, numerical solutions of KDV Burger, Gardner, Advection - Diffusion, Modified Regularized Long Wave (MRLW) equations by expanded cubic B-spline method, respectively, have been examined. Two test problems for each were used to compare the proposed method with the exact results.In the last section, the results obtained about the application of the expanded cubic B-spline method to these equations are compared.