Sınırlandırılmış yol-hız-zaman uzayında lineer bir katar seyir modeli için optimal enerjili hız yörüngelerinin belirlenmesi

Abstract

ÖZET Demiryollarda yüksek hızların uygulanmasıyla katarla rın enerji tüketimleri artmış ve enerji giderleri, üzerleri ne dikkatle eğilmeyi gerektirecek boyutlara ulaşmıştır. Nitelikleri bakımından enerji verimliliği yüksek bir taşın türü olan demiryollarda yolun,diğer sabit tesislerin ve araçların tasarımlarına ilişkin önlemlerin yanı sıra katarların işletilmesiyle ilgili düzenlemeler yardımıyla da önemli ölçüde enerji tasarrufları sağlanabilir. Bu çalışmada, bir katarın verilen kalkış ve varış is tasyonları arasındaki sabit direnindi bir güzergâh kesimi üzerinde önceden belirlenen seyir süresine ve hız kısıtla masına uyarak, lineer bir seyir modeline göre, minimum çe kim enerjisiyle hareketini sağlıyan optimal hız yörüngele rinin belirlenmesi sorunu incelenmiştir. Çalışma altı bölüm ve iki ekten oluşmaktadır. Çalışmanın birinci bölümünde demiryollarda enerji tü ketimine etki eden faktörler gözden geçirilmiş, enerji op- timizasyonu konusunda daha önce yapılan çalışmalar ve kul lanılan yöntemler açıklanarak çalışmanın amacı ve kapsamı tanımlanmıştır. İkinci bölümde, incelenen optimizasyon sorununun çözü münde kullanılan Pontryagin'in Maksimum ilkesi 'hin temel bağıntıları verilmiştir. Ayrıca, çalışmada kontrol değişkeni olarak alınan çe kim kuvvetinin hıza bağlı olması nedeniyle, sınırlandırıl mış dutum uzayında optimizasyon sorunu için lehikawa ve Tamura tarafından yerilen `süreklilik` ve `sapma` koşulla rını tahiinlâyan matematik bağıntıların değiştirilmesi ge rekmiştir.Üçüncü bölümde optimal enerjili hız yörüngelerinin belirlenmesi için gerekli bağıntılar çıkarılmıştır. Bunun için» öncelikle çekim ve direnim kuvvetleri için hıza göre lineer bağıntılar kullanılarak, tf öngörülen se yir süresi olmak üzere lineerleştirilmiş katar seyir modeli nin T - tj-t `geri zamanı` na bağlı diferansiyel denklemleri verilmiş ve seyir sırasında tüketilen çekim enerjisini gös teren performans ölçüsü belirlenmiştir. Daha sonra Pontryagin'in Maksimum îlkesi'ne göre Hamil ton fonksiyonunu maksimum yapan optimal kontrol dizisi elde edilmiştir. Optimal kontrol değişkeninin herbir değerine optimal yörüngenin bir evresi karşı gelmektedir. Lineer katar seyir modelinin diferansiyel denklem takımının belirlenen optimal kontrol dizisine göre çözümüyle, önce, maksimal ivmeyle hız lanma, frenlemeye hazırlık ve maksimal ivmeyle frenleme ev relerinden oluşan üç evreli optimal `regüler` yörüngelerin parametrik denklemleri elde edilmiş; daha sonra sabit hızla hareket evresine karşı gelen `singüler çözüm` ün ortaya çık ması koşulları incelenerek, maksimal ivmeyle hızlanma ve frenlemeye hazırlık evreleri arasında sabit hızla hareket evresini içeren dört evreİi optimaİ`singüler yörühgeler`in parametrik denklemleri çıkarılmıştır. Bölümün sonunda, hız sınırına ulaşan ve Xn = Vm sını rı boyunca ilerledikten sonra yeniden izin verilen âlâna sapan geri zamanlı optimal yörüngeler * Bölüm II de tanımla nan `süreklilik` ve `sapma` koşulları yardımıyla incelene rek parametrik denklemleri çıkarılmıştır. Geri zamanlı optimal yörüngelerin maksimal ivmeyle hız lanma evreleri iki bölümde incelenmiştir. Hızlanma evresine karşı gelen u,jjax optimal kontrolü; geçiş hızının altında aderans çekim kuvvetine, üstünde ise lineerleştirilmiş çekim kuvveti-hız bağıntısına göre belir lenmiştir. Böylece, sabit direnimi! ve istasyonlar arasında ki uzaklıkları büyük olan güzergâh kesimlerinde geçiş hızi~ nin üstünde seyreden katarlar için de geçerli olan optimal yörüngeler elde edilebilmektedir.XJ Dördüncü bölümde, yol, çekim ve işletme koşullarına bağlı olarak optimal yörüngelerin belirlenmesi için uygula nacak işlemler dizisi açıklanmıştır. Bu amaçla lineer leşti- rilmiş özgül direnim kuvveti bağıntısmdaki b katsayısı nın işaretine, istasyonlar arasındaki uzaklığa ve seyir süresine göre ortaya çıkabilecek tüm durumlar incelenmiş tir. Bu durumların herbirinde optimal yörüngelerin karakte ristik değerlerinin ve optimal enerji tüketiminin hesaplan masını sağlıyan bir bilgisayar programının temelini oluştu ran bir genel akış diyagramı verilmiştir. Bölümün sonunda katarların optimal enerjili işletilme si sorunu ana çizgileriyle incelenmiştir. Sayısal uygulamalar beşinci bölümde toplanmıştır. Bu bölümde; optimal yörünge yerine aynı seyir süresine karşı gelen değişik yörüngelerin izlenmesi durumunda enerji tüke timindeki artışlar, optimal yörüngelerin ve optimal enerji tüketiminin seyir süresi ve eğimle değişimi incelenmiş ve iki kesimden oluşan bir güzergâh üzerinde seyir süresinin kesimlere optimal dağıtımı sorunu sayısal olarak irdelen miştir. Çalışmadan elde edilen sonuçlar son bölümde özetlen miştir. Çekim ve direnim kuvveti bağıntılarının lineerleşt iril mesi konusundaki sayısal incelemeler ve kullanılan regresyon programı Ek I de, Bölüm IV de verilen genel akış diyagram! temel alınarak hazırlanan, optimal yörüngelerin karakteris tik değerlerini ve optimal enerji tüketimini hesap lıy atı bilgisayar programı ise Ek II de verilmiştir.

SUMMARY Railways are inherently more efficient than other modes of transport in terms of energy consumption. Many factors, such as steel wheels on steel rails, low gradients, mass transport facilities for freight and passenger traffic, etc. contribute substantially to a high operating efficiency in energy terms. The ratio of the energy to total operating costs »which did not amount a large number at the beginning of the last decade, has been clearly increased by the use of high speeds and it deserves a careful consideration. Detailed studies done oh the energy consumption have shown that the energy economies which the railways themselves can make in their internal operations, are not negligible at all. In this work the problem elf determining the optimal Speed trajectory (optimum speed program, optimum speed schedule) which minimizes the traction energy of a train is studied. It is considered that the train runs on a track portion having a constant slope and a constant maximum speed limit between two adjacent stations in a specified running time. The work consists of six main sections and two appendices : In the first section, primarily, the factors.affecting energy consumption on railways, are examined. These factors are the characteristics of the track, traction and the constructional features of the vehicles. Secondly, works concerning the optimization of energy on railways are analized and, the aim as well as the extent of the study is explained.XJV Part of the research done on this subject is based on empirical data and experimental results.. In the research, based on the mathematical theory of optimal processes, two approaches are used : - Dynamic Programming. - Pontryagin's Maximum Principle. Although the dynamic programming approach gives a general numerical solution including all kinds of constraints, it also brings some difficulties concerning the use of computers. Pontryagin's Maximum Principle is used to obtain analytically the optimal controls in forms of open and closed-loops for the linearized running models of trains. In the previous studies carried out by means of Maximum Principle, the running models of trains are rather simplified in order to obtain the solution of problem easily. One of the detailed studies in this field belongs to Horn. In his work the tractive effort at the rim of drivers, being independent of the speed, is assumed to be constant; because of this particularity the optimal control law stated by Horn is valid only for commuter and underground trains. Since on the main lines the distance between two succesive stations is usually large, generally trains run Over their transition speeds which indicate the adhesion limits of the tractive effort curves versus speed and in some cases, they even reach their maximum speeds. However, in this study the available tractive effort.which is in reality represented by a second order function of the speed over the adhesion limit, is taken into account as a linear function of the speed. In the same way, a linear relation is used for the specific train resistance. Thus, the optimal trajectories, which are also valid for the trains running over the transition speed, on the track portions having constant slope between two succesive stations can be determined.XV By examined the tractive effort-speed curves of the electrical trains and locomotives it is demonstrated that the tractive effort at the rim of drivers over the adhesion limit can be İinearized with a sufficient correlation. In the second section, Pontryagin's Maximum Principle, which is used in this study, is defined by its basic equations. It is assumed that the speed of train is restricted by a maximum speed limit, V, for a station-to-station run, so that the three dimensional state space in which the speed trajectories lie has a boundary. In the bounded state space, the optimal trajectories on the boundary are determined with the aid of two conditions given by Ichikawa and Tamura as `continuity condition` and `branch-off condition`. In this study, the tractive effort taken as a control variable is not independent of the speed, therefore the mathematical equations of the above mentioned conditions are developed according to this fact. In the third section^ the fundamental equations determining the optimal speed trajectories are set up. The diferential equations related to the backward time, T = t --t, where tf is specified running time, of the linearized running model of train are given and the performance measurement representing the consumed traction energy during a station-to-statioh run is determined. Then the optimal controls which maximize Hamiltonien n H(p,x,ii) = E p. f.(x,u)-f (x,u) are obtained according to the Pohtryaginrs Maximum Principle. Where 2ç,jj,p respectively, are the state, control and supplementary vectors *XVI The solutions corresponding to the optimal controls, u ** -1. 0 and u, are called `regular` solutions. ' max' s Optimal regular backward time trajectories emanating from terminal point (origin) at the time T = 0 (t = tf) consist of three regimes : - braking with maximum allowable effort. - coasting - accelerating with maximum available tractive effort By solving the differential equations of the linear running model according to the above optimal regular controls, the parametrical equations of these trajectories are obtained as X-X.. 1 1, 1.., 1. J x2 = f2(T,TrT2) T, and T` are the times where the control variable change! sigh. 2 The solutions corresponding to u*= [-1,0] for p2= 0 u*= P» Umaxl f °r P2= X2/UB controls, are `singular` solutions. There is no practical meaning of the first singular solution. The singular solution, p` = x7/uR, corresponds to the regime of running with constant speed. Thus the optimal singular backward time trajectories consist of the following four regimes :xvrr - braking with maximum allowable effort - coasting - running with constant speed - accelerating with maximum available tractive effort The trajectory* consisting of three regimes, that satisfies the singular solution* p2 - xo^ut> » only at the time T = T is called `critical trajectory`. Tg is the time where the optimal control changes from u^=-l to u*^= (âX2g+b)/uR, Optimal trajectories above the critical trajectory are regular arid under the critical trajectory are singular. Then the critical trajectory is a boundary between the optimal regular and singular trajectories. At the end of section, the optimal backward time trajectories reaching the maximum speed limit »continuing on the boundary, Vm, and moving into the admissible region arfe examined by means of continuity and branch-off conditions and their parametrical equations are set up. The acceleration with maximum available traction is studied in two separate sections : Under the transition speed the optimal control, u, corresponding to the acceleration regime is equal to the adhesive tractive effort and beyond the transition speed it is defined by the linearized tractive effort-speed function. In the fourth section, the solution processes used for the determination of optimal trajectories subject to track, traction and operational conditions are explained in details. All of the cases that may occur subject to the sign of coefficient, b, of linearized specific train resistance, to the distance between the stations and to the running time, are studied. In order to determine the position of optimal trajectory on the distance-speed (x,, Xn) plane for a given track portion it is necessary to calculate the criticalXVII] time separating the optimal regular and singular trajectories. Â critical trajectory always occurs on the up graded tracks. On the other hand for occurence of the critical trajectories and therefore the singular solutions on the down graded tracks, the distance between the succesive stations should be larger than a lower limit determined by the grade. The solution processes used for determining optimal trajectories are summarized in a flow-chart. At the end of section the principles öf operating the trains with minimum traction energy are briefly explained. Numerical examples are given in the fifth section. First, the increase in energy consumption in ease of using different trajectories corresponding to the same running time, instead of optimal trajectory, is analized; then variations of the optimal trajectories and of the optimal energy consumption subject to the running time and to the grade are discussed. Finally, the graphical solution of the problem of optimal distribution Of specified running time to the sections on a two-portioned track is numerically verified. The analysis of the variation of optimal energy consumption subject to the running time shows that it is possible to save a considerable amount of energy by small increases of the running time of high-speed trains. This important result points out that the relationship between the time saving and the energy consumption should be carefully examined and the high speeds on the railways should be restricted by economically determined limits. The results obtained are presented in the last section.XIX The numerical examples and the regression program used for the linearization of tractive effort and of train resistance are given in Appendix I. Â computer program calculating the characteristics of optimal trajectories and the optimal energy consumption is developed on the basis of the flow-chart given in the fourth section and it is presented in Appendix II.