S6 ve S7`nin karakterleri

Abstract

ÖZET Sg VE S? NIN KARAKTERLERİ Bu tez, pratikte relativite ve kuantum teorisi gibi alanlarda yaygın bir şekilde kullanılan matris temsillerinin grup karakteri yoluyla incelenmektedir. Tezin amacı, Sg ve S` simetrik gruplarının bütün karakterlerinin elde edilebileceği karakter tablolarını Üretmektir. Konunun hazırlanmasında kullanılan temel kaynaklar Ledermann [1] ve Murnaghan [2] tarafından verilmiştir. Keown [3] ve Littlewood [4] un yaklaşımları da yol gösterici olmuştur. G boş olmayan bir grup ve x<sG olmak ti sere A(x) = [a.,(x)3 (i, d = 1,2,..., m) olacak şekildeki katsayıların bir K cisminden seçildiği m-inci mertebeden bir singUler olmayan matris bulunabiliyorsa ve A(x)A(y) = A(xy), (x,yeG) şartı sağlanıyorsa, A(x) e G nin K Üzerinde m-inci dereceden bir temsili denir. Simetrik grup üzerinde tanımlayabileceğimiz iki basit temsil aşağıdadır. eğer x çift ise eQer x tek ise r 1 - D <5(x) = { Q ^ 1.1 1.1 V ~` 1 >J IJ Bu temsillerden [1] 2-incisine doğal temsil adı verilir. A(x) ve B(x), G grubunun aynı dereceden K cismi üzerinde tanımlı iki matris temsili olsun. Katsayılarını K dan alan, singUler olmayan ve B(x) = T^ACx^ -V-rşartını sağlayan bir T sabit matrisi bulunabiliyorsa, A(x) ve B(x) temsillerini denk kabul edeceğiz ve bunu A(x) % B(x) şeklinde göstereceğiz. A(x) bir matris temsili olmak üzere 4>(x) = trA(x) A(x) matrisinin izini verir ve A(x) matrisinin karakteri diye adlandırılır. Denk temsillerin karakterleri aynıdır ve grup manasında konjuge olan elemanların aynı temsil için karakterleri aynıdır[l]. Bu teorem 2.1 de ifade edilmiştir ve karakterlerin temsillerinin incelenmesinde önemli bir rol oynar. Konu matris temsilleri olduğuna ve matrislerin üçgen formda yazılabilmesinin özellikle determinant hesabında kolaylık sağladığına göre, matris temsillerinin bu şekilde yazılıp yazılamadığını bilmenin faydası açıktır. Herhangi bir A(x) temsili, eğer uygun şartlardaki bir T matrisi tarafından, her x«=G için B(x) = T ^(aOT = 0 E(x) şekline getirilebilirse, A(x) matrisine, K üzerinde indirgenebilir, aksi takdirde indirgenemez denir. Herhangi bir temsil, ya indirgenemezdir ya da köşegen elemanları indirgenemez temsiller olacak şekilde bir üçgen matris şeklinde yazı labi 1 ir[ 1]. Bu, temsillerin irdelenme s inde kolaylık sağlayacaktır. Fakat köşegen dışındaki terimler de yok edilebilseydi bu daha da faydalı olurdu. Maschke' nin teoremi, bunun, her zaman olmasa da çok genel şartlarda bunun mümkün olduğunu göstermektedir [1], Bu teoremin daha genel bir şekli, tam olarak, G boş olmayan sonlu bir grup, K karakteristiği 0 ya da Gile aralarında asal olan bir cisim ise, G nin K cismi üzerindeki her matris temsilinin bu şekilde yazılabileceğini göstermektedir [1], Grup karakterlerinin özelliklerinin incelenmesi için,0(x) ve v(x) karakterleri için «P,v> - -J- £ ^(x)y>(x_1) B x<sG şeklinde tanımlı bir <^>,y> iç çarpımı tanımlanmıştır. Eğer A(x) ve B(x), bir G grubunun iki indirgenemez temsili ve *(x) ve x' (x), sırasıyla, bu temsillerin karakter fonksiyonları ise, birinci dereceden karakter bağıntıları <-y v' > - / 1 eğer A(X) * B<X> ise *'* / 0 aksi takdirde şeklinde ifade edilir. Bu, temsillerin karakterlerinin incelenmesinde indirgenemez temsillerin karakterlerinin ortonormal bir taban oluşturduğunu gösterir [l]. Herhangi bir temsilin karakteri, Fourier analizinde kullanılana benzer bir teknikle indirgenemez temsillerin karakterlerinin lineer bir kombinasyonu olarak yazılabilir. Bir grubun k tane konjuge sınıfı varsa, k tane denk olmayan temsili vardır[l]. Bu teorem grubun konjuge sınıfları ile temsillerini birbirine bağlar. n>l olmak Üzere S, n-inci dereceden simetrik grubu temsil etsin. Simetrik gruplar, üzerinde en çok çalışılmış grup türlerindendir. S nin konjuge sınıflarının sayısı, n sayısının parçalanışları sayısı kadardı r [2]. 0 halde, S nin indirgenemez temsillerinin sayısı n nin parçalanışları sayısına eşittir. Bu gerçek, grup temsilleri gibi, nispeten yeni bir konuyu sayılar kadar eski olan sayılar teorisiyle bağlamaktadır. Frobenius, grup karakterlerinin 1896 yılında bulunmasından 4 yıl sonra, bulduğu üreten fonksiyonlar ile S simetrik grubunun karakterlerini en azından n prensip olarak bulma başarısını gösterdi. Prensip olarak diyoruz, çtinki Frobenius' un fonksiyonları çok fazla hesaplama içerirler ve n nin büyük değerleri için hesaplama miktarı korkunç boyutlara ulaşır. Bu sebeple Sg ve S? nin karakterlerini hesaplamak için Schur'un Frobenius' tan bir kaç yıl sonra geliştirdiği Schur'un Üreten fonksiyonları (veya s-fonksiyonları ) kullanılmıştır. Bu metodun tercih sebeplerinden biri de herhangi birn>l doğal sayısı için indirgenemeyen karakterlerin hesaplanmasında, değişik dereceden simetrik grupların karakterlerinin kullanılmasının gerekmemesidir[4]. Bölüm 5, Sg ve S` nin karakterlerini verecek olan formüllerin s- fonksiyonları yardımı ile üretilmesine ayrılmıştır. îlk olarak 2 eleman içeren parçalanışları verecek formüller X parçalanışını (X) = (X,X ), X + X = n 1 2 i Z olacak şekilde düşünülecek olursa Schur' un fonksiyonları rx xı X i- ' 2 karakter fonksiyonunun değerleri v*. w. xi+ı wx *ı wx 2 2 determinantının açılımındaki katsayılar şeklinde elde edilir. Bu ifadenin WX WX WX +ıwx -ı- 12 12 şeklinde düşünülerek açılması ve gerekli sadeleştirme lerin yapılması sonucu (T) (O`) ana formülü elde edilir. Burada {o) X - 1 inci mertebeden simetrik gurubun ve (t^,tzt^ ) ise (Xg ) nin bir parçalanış sınıfıdır. Bu ana formultin irdelenmesi sonucu {a) W)formülü elde edilir. Burada (ft) X. inci dereceden simetrik gurubun sabit terimsiz bir parçalanışıdır. Bu formülün Sg ve S` de karşılaşabileceğimiz durumlara uygulanması sonucu iki elemanlı parçalanışlar için şu formülleri elde ederiz. ^[n-2,2] =^-Vaı -3) +«2, A*?'* = = + V`* ` 1H^ ` 5) + a*(«ı ~ 1} + `b. + («t - D«B + -f` «2(«2 - 1) + «4. Yukarıdaki eşitlikler, inceleyeceğimiz Sg ve S` grupları için yeterlidir.

SUMMARY This work is about matrix representations and characters of group, espectially the symmetric groups of degree 6 and 7, namely S- and S^. Chapter I gives a brief history of the subject. Chapter II gives the very basic definitions such as group representations, characters, reducibility and complete reducibility. Most of the theory was invented by Frobenius, and Schur-Maschke' s theorem on complete reducibility is also very important. After having defined the character notion, in the previous chapter, chapter III gives the important properties characters which will clarify the importance of group characters in the study of group representations. Then the work goes on with a brief recall of some basic information on symmetric group and the theory of group representations linked with symmetric groups by the generating functions of Frobenius and Schur which give the value of irreducible characters of symmetric groups as coefficients. The concluding chapter is devoted to the study of some special Schur functions which will be used to construct the character table of Sg and S?. -iv-