A study on number theoretic construction and prediction of two dimensional acoustic diffusers for architectural applications

Abstract

Sesin açıdan farklı olarak dağılması olarak tanımlanan ideal saçıcılık, müzikalseslerin algısında çok önemlidir. Bu amaçla, Schroeder matematiksel sayı serilerinikullanarak, iki ana tipte olan ızgarasal fazlı yansıma saçıcılarını önermiştir: Sesi yarıdairesel olarak saçan bir boyutlu (1D) saçıcılar ve sesi yarı küresel olarak saçan ikiboyutlu (2D) saçıcılar. Bu saçıcıların ana avantajı, direkt gelen ses ışınlarını, ortamdakises enerjisini azaltmadan saçmalarıdır. Halen 2D saçıcılar tasarlamak için ikimetod kullanılmaktadır: Çarpım Dizisi Metodu ve Katlanan Dizi Metodu. İki metodda sayı teorisine dayanmakta ve günümüzde akustik alanında kullanılmaktadır. Ancaksundukları saçıcılık özellikleri ve konser salonlarından kayıt stüdyolarına değişen mimarimekanlar için tasarım çözümleri sınırlıdır. Bu tez, farklı seçimlerde 2D saçıcılarınsayı teorisel kurulumu ve öngörülmesinde dijital resimlerin filigranında kullanılan AyrıkToplamlar Özelliği Metodunu önermektedir. İlk olarak, iyi otokorelasyon özelliklerinesahip olduğu bilinen, asal sayı 7'yi temel alan kuadratik kalan sayı serisi seçilmiştir.Çünkü bilindiği üzere ideal otokorelasyonun Fourier dönüşümü dengeli saçılan enerjidağılımı göstermektedir. Sonra, Ayrık Toplamlar Özelliği Metodu kullanılarak 2Ddiziler oluşturulmuş ve hücre derinlikleri ve genişlikleri hesaplanmıştır. Üçüncü olarakmodellenmiş 2D saçıcının sesi saçma özellikleri, Audio Engineering Society standartlarıylauyumlu olduğu bilinen Sınır Eleman Yöntemi ile öngörülmüştür. Her oktav bandfrekanstaki kutupsal yansımalar elde edilmiştir. Son olarak öngörülmüş saçılım katsayılarıhesaplanmış, referans düz yüzey katsayıları ve önceki çalışmaların sonuçlarıylakarşılaştırılmıştır.

Defined as the scattering of sound independent from angle, optimum diffusion isvery important for the perception of musical sound. For this purpose, Schroeder usedmathematical number sequences to propose ?reflection phase grating diffusers?, of twomain types: Single plane or one-dimensional (1D) diffusers that scatter sound into ahemi-disc, and two dimensional (2D) diffusers that scatter into a hemisphere to dispersestrong specular reflections without removing sound energy from the space, which is themain advantage of these devices. Currently, two methods are used to design 2D diffusers:Product Array and Folding Array Methods. Both are based on number theoryand used methodologically in the field of acoustics, producing results that offer limiteddiffusion characteristics and design solutions for a variety of architectural spaces rangingfrom concert halls to recording studios where Schroeder diffusers are widely used.This dissertation proposes Distinct Sums Property Method originally devised for watermarkingdigital images, to construct adoptable 2D diffusers through number theoreticalconstruction and prediction. At first, quadratic residue sequence based on prime number 7is selected according to its autocorrelation properties as the Fourier transform of good autocorrelationproperties gives an even scattered energy distribution. Then Distinct SumsProperty Method is applied to construct 2D arrays from this sequence from which welldepths and widths are calculated. Third, the aimed scattering and diffusion properties ofthe modeled 2D diffuser are predicted by Boundary Element Method which gives approximateresults in accordance with the measurements based on Audio Engineering SocietyStandards. Fourth, polar responses (i.e. the scattering diagrams for specific angles) ineach octave band frequency are obtained. Finally, predicted diffusion coefficients for uniformscattering are calculated and compared to the reference flat surface?s coefficients andprevious studies? results.