Model theoretic approach to Nullstellensatz

Abstract

Tezimizin konusu Reel Nullstellensatz teoreminin Hilbert's Nullstellensatz teoremininanalogu olarak model teoritik ispatı.Birinci bölüm reel kapalı cisimlerin teorisini içeriyor. Sıralı ve reel cisimlerin tanımlarıveriliyor. Reel kapalı bir cisimleri -1 in kareler toplamı olarak yazılamayacağı cisimlerolarak tanımlayarak reel cisimlerin tek bir sıralaması olduğu sonucuna ulaşılıyor.Reel kapalı cisimleri reel bir cismi içeren cebirsel kapalı en büyük reel cisim olaraktanımlıyoruz ve her reel cisiminin izomorfizm anlamında tek bir reel kapalı cisimegömüldüğü sonucuna ulaşıyoruz. Bu sonuca ulaşmak için, bir polinomun reel bircisim üzerindeki köklerini saymaya yarayan Sturm teoremini ve reel kapalı cisimlerin ara değer teoremini sağladığı kanıtlanarak kullanılmıştır.İkinci bölümde model teorinin bazı temel kavramları tanımlanmıştır. Cebirsel kapalıcisimlerin teorisinin ve reel kapalı cisimlerin teorisinin niceleyici eliminasyonunusağladığı gösterilerek model tam oldukları sonucuna varılıyor.Üçüncü bölümde Hilbert's ve Reel Nullstellensatz teoremlerinin analojiyivurgulamak için aynı yöntemle kanıtları veriliyor. Öncesinde bu teoremlerihipotezlerini anlamak için cebirsel geometriden varyete ve varyetenin idealigibi bazı tanımlar veriliyor. İdeallerin ve varyetelerin arasındaki eşleşmelerinincelendiği teoremlerde cebirsel kapalı cisimlerdeki radikal ideallerin yerinireel kapalı cisimlerde reel idealler alıyor.

as field is real if and only if?ni=1 a2i = 0 implies ai = 0 with ai ? R for i = 1, . . . , n.After that, I defined real closed field as a real field, maximal with respect to theproperty of reality in an algebraic closure and showed that real closed fields haveunique order. Finally I arrived to the following result; every real field embeds intoa real closed field, i.e. has a real closure, moreover this real closure is unique upto isomorphism. To prove this result, I used Sturm?s Theorem that counts the rootsof a polynomial on a real field and the important result that real closed fields haveintermediate value property. All the theory developed in chapter is due to Artin-Schreier. I followed [SL] and [PG] for Chapter 1. The results I achieved in Chapter1 are used in Chapter 3 for proving some properties of real ideals and in the proofof Real Nullstellensatz.In Chapter 2, I gave model theoretic facts which are necessary to give a modeltheoretic proof of nullstellensatz. As the model theoretic part of the proof of null-stellensatz uses the fact that ACF and RCOF are model complete, after giving abasic facts and some theorems about quantifier elimination. We showed in Chapter2, that ACF and RCF admits quantifier elimination and from that I conclude thatACF and RCF is model complete.Last chapter finally consists of model theoretic proof of Hilbert Nullstellensatzand Real Nullstellensatz using the same methods as to emphasize the analogy. Inthe beginning, I gave some definitions from algebraic geometry; affine variety andideal of a variety in order to understand the statements of both Hilbert?s and RealNullstellensatz. Before giving the proof of Hilbert Nullstellensatz I visited somealgebraic facts from field theory. Also before the proof of Real Nullstellensatzwe define the notion of real ideal and study some of its properties. Since the realclosure of a real field and algebraic closure of a field has analogous properties, weuse the same method for both of the proofs. Real ideals for a real field took theplace of radical ideals.