Fermat`s last theorem for regular primes: Kummer`s approach

Abstract

Bu tezde Fermat'nn Son Teoremi'nin kısmi bir kant sunulmuştur. Düzenli tek asalp sayları için Fermat denklemi olarak adlandrlan x^p + y^p = z^p denkleminin barizçözumler dışında tam sayı bir çözümü olmadığı kanıtlanmıştır. Bunu yaparken kullanılan kanıt ve fikirler Ernst Eduard Kummer'e (1810-1893) aittir.Döngüsel tam sayılar üzerinde önemli ölçüde durulmuştur. Sayı halkaları, Dedekindbölgeleri ve bu özel halkaların bazı çarpanlara ayırma ve bölünebilme özellikleri çalışılmıştır.Cebirsel sayların iz ve norm fonksiyonlarnın özellikleri aktarılmştır. İdeal sınıflarınıngrubu ve tek elemanla gerilen ideallerin sınıfları üzerinde önemli ölçüde durulmuştur.Ayrıca ideal sınıflarının grubu kesirli idealler yolu ile de açıklanmıştır.Kummer'in yaklaşımı izlenerek problem iki durumda incelenmistir; birinci durumdap'nin x,y,z tamsaylarndan hiçbirini bölmediği varsayılmıştır. İkinci durumda isep'nin x,y,z tamsaylarndan tam olarak birini böldüğü kabul edilmiştir.

In this thesis we present a partial proof of Fermat's Last Theorem. We work on the Fermat equation x^p+y^p=z^p and prove that it has no integer solutions (except trivial ones) if p is a regular odd prime. We follow Ernst Eduard Kummer's (1810-1893) proof and his ideas. Cylotomic integers is the main interest of this thesis. We study number rings, Dedekind domains and some factorization and divisibility properties of these special rings. Some important properties of the trace and norm maps of algebraic integers are proved. We also study ideal class groups. Fractional ideals are also introduced to see the ideal class groups from another point of view. By following Kummer's approach, we divide the problem into two cases. In the first case we assume that p does not divide any one of the integers x,y,z, and in the second one we work under the assumption that p divides exactly one of the integers x,y,z.