Farklı geometrilerde Möbius transformasyonları ve hareketler

Abstract

Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmıştır.İkinci bölümde ileri bölümlerde gerekli olan temel tanımlar ve teoremler verilmiştir.Üçüncü bölümde, 3-boyutlu Öklid uzayında ve 3-boyutlu Minkowski uzayında Möbius transformasyonları ile eğriler arasındaki ilişkiler ele alınmış,İnvolüt-Evolüt eğri çifti ve Bertrand eğri çifti olma özeliğinin hangi koşulda invaryant kaldığı belirtilmiştir.Dördüncü bölümde, 3-boyutlu Öklid uzayında tanımlanmış olan Poincare genişlemesi kuaterniyonlar yardımıyla 4-boyutlu Öklid uzayında yeniden tanımlanmış,bu sayede Möbius transformasyonları altında E? deki eğrilerin görüntüleri bulunmuştur.Yine bu bölümde ,benzer düşünce ile split kuaterniyonlar kullanılarak,Poincare genişlemesi E?? Minkowski uzayında tanımlanmıştır.Beşinci bölümde, stereografik izdüşüm yardımıyla tanımlanan Möbius dönüşümünün hangi özel halde küre üzerindeki dönmelere karşılık geldiği gösterilmiştir.Son bölümde ise Möbius transformasyonları için E² den E? e bir genelleştirme elde edilmiş ve bu genelleştirme sayesinde E? de Möbius transformasyonlarının küresel İnvolüt-Evolüt olmayı koruduğu sonucuna varılmıştır.

This thesis consists of six chapters.The first chapter is devoted to the introduction.The second chapter deals with definitions and theorems which are necessary for the next chapters.In the third chapter, in 3-dimension Euclidean space and Minkowski space, the relations between Mobius transformations and the curves are discussed. In addition, it is indicated that the properties of being Involute-Evolute curves and Bertrand mates are kept in which conditions.In the fourth chapter, Poincare extension, which is defined in 3-dimensional Euclidean space, is redefined in 4-dimension Euclidean space by use of quaternions, thus, the image of curves in E? is found under the Mobius transformations. Also in this chapter, with a similar method, Poincare extension is identified in E?? Minkowski space by the aid of split quaternions.In the fifth chapter, it is shown that, in which specific conditions, Mobius transformations which are defined by the help of stereographic projection correspond to rotation of sphere.In the last chapter, a generalization, E² te E?, about Mobius transformations is obtained and it is deduced that in E? also Mobius transformations keep being spherical Involute-Evolute curves in E?.