Data partitioning and multivariate interpolation via various high dimensional model representations

Abstract

Bir çok değişkenli fonksiyonun çok değişkenli bir örgünün sonlu sayıdaki düğümlerindeki değerleri verilmiş ise bu fonksiyon interpolasyon aracılığıyla belirlenebilir. İnterpolasyon sonsuz bir veri yapısının sonlu sayıdaki veri ile yaklaşık olarak karakterize edilmesinin bir yoludur. Boyut sınırsızca arttıkça standart interpolasyon yöntemlerindeki hesap karmaşıklığı çok büyümektedir. Bu çalışmanın amacı, verilen bir çok değişkenli veriyi daha az değişkenli veriye bölümlemek ve daha sonra aranılan çok değişkenli fonksiyona bu bölümlenmiş veri interpole edilerek yaklaşık bir analitik yapı belirlemektir. Veri bölümlemesi için Yüksek Boyutlu Model Gösterilim (YBMG) ve Genelleştirilmiş YBMG (GYBMG) geliştirilmiştir. Verilen veri kümesinin doğasına, yani aranılan çok değişkenli fonksiyonun yapısına bağımlı olarak aranılan fonksiyon için yaklaşık olarak bir analitik yapı belirleyebilmek amacıyla başka YBMG tabanlı yöntemler de geliştirilmiştir. Bu yöntemler Çarpımsallaştırılmış YBMG ve Melez YBMG olarak adlandırılmıştır. Bu iki algoritma YBMG ve GYBMG ile bölümlenmiş veriyi kullanmaktadır. Yapılandırılma hataları içeren bir çok değişkenli veri kümesi verilirse bu, aranılan fonksiyon için bir analitik yapı yerine bir şerit yapısının ya da değer yerine aralıklı yapının elde edilmesine yol açar. Bu amaçla, verinin bölümlenmesi ve aranılan fonksiyona yaklaşık bir şerit yapısının elde edilmesi için belirtilen yöntemlerin yeniden yapılandırılmış algoritmaları kullanılabilir.

A multivariate function can be evaluated via interpolation if its values are given at a finite number of nodes of a multivariate grid. Interpolation is a way to characterize an infinite data structure by a finite number of data approximately. When the dimensionality increases unboundedly, the complexities grow rapidly in the standard interpolation methods. The main purpose of this work is to partition the given multivariate data into a set of low-variate data and then to interpolate each individual data in the set to determine an approximate analytical structure for the sought multivariate function. High Dimensional Model Representation (HDMR) and Generalized HDMR methods are developed for data partitioning. Depending on the nature of the given data set, that is, the nature of the sought multivariate function, some other HDMR based methods called Factorized HDMR and Hybrid HDMR are also developed to approximately determine an analytical structure for the sought function. These two algorithms use the partitioned data obtained through HDMR orGHDMR. If a multivariate data set which has construction errors is given, this causes a band (or interval) structure for the sought function instead of an analytical structure. For this purpose, the reconstructed algorithms of these mentioned methods can be used to partition the data and to determine an approximate band structure for the sought function.