A kronecker`s limit formula for real quadratic number fields

Abstract

İKİNCİ DERECEDEN GERÇEL SAYILAR CİSİMLERİ İÇİN KRONECKER İN YAKINSAMA FORMÜLÜ Özet K ikinci dereceden sayılar cismi olsun, s gerçel olmayan bir sayı ve A da K nın ideal sınıf grubundan bir ideal iken K: nın Dedekind zeta-fonksiyonu Çk(s) i kısmı zeta- fonksiyonların, Çk(s, A) toplamıolarak yazabiliriz. O zaman C(s5^) analitik sürekliliği olan s = 1 de tanımsız bir meromorphic fonksiyon olur. Zeta fonksiyonunun residu su Dirichlet tarafından hesaplanmış ve A ya bağımlı olmadığı gösterilmiştir. Kronecker zeta fonksiyonunun Laurent açılımındaki sabit sayıyı gerçel olmayan ikinci dereceden sayılar cismi için bulmuş. Unit sayısı sonlu olduğundan bu cisimlerde hesap yapmak, unit sayısının sonsuz olduğu gerçel sayılar cisminde hesap yapmaktan daha kolaydır. Zagier sabit sayıyı gerçel sayılar cisminde hesaplamıştır. Biz de Kronecker ve Zagier in sonuçlarını inceleyeceğiz. Ayrıca Zagier in teoreminde kullandığı sürekli kesirlerden bahsedeceğiz. Anahtar kelimeler: ikinci Dereceden Sayılar Cisimleri, Zeta Fonksiyonları, Sürekli Kesirler, İdeal Grublar. vii

A Kronecker's Limit Formula For Real Quadratic Number Fields Abstract Let K be a quadratic number field, the Dedekind zeta-function of K, Ck(s) can be written as a sum of partial zeta functions, Ç(s,A) where A runs over the ideal class group of K and s a complex number. Then Ç(s, A) has an analytic continuation as a meromorphic function of s with a simple pole at s = 1. Dirichlet proved that the residue of £(s, A) is independent of the ideal class A chosen. For the constant in the Laurent expansion of partial zeta function around s = 1 we will examine Kronecker's and Zagier's results. Kronecker found the constant for the imaginary quadratic case. Working with imaginary quadratic fields is much easier because of the finiteness of unit group of the field. For real quadratic fields there are infinitely many units and Zagier computed the constant for this case. Also we will include continued fractions as Zagier used for the proof of the limit formula of zeta-function for real quadratic number fields. Keywords: Quadratic Number Fields, Zeta Functions, Continued Fractions, Ideal Class. VI