Helmholtz denkleminin optimal kontrol problemleri ve mikrodalga ısıtmasında uygulanması

Abstract

Dalga denklemlerinin optimal kontrol problemleri yıllardır ilgi odağı olmuştur. Özellikle, akustik ve elektromanyetik alanların kontrolü saçılma ve kloak problemlerini doğurmuştur. Daha sonra, metamataryellerin yapısının kontrolü önem kazanmıştır. Son zamanlarda, malzeme tasarım optimizasyonu ile ilgili birçok araştırma olmuştur. Elektromanyetik ve akustik dalga yayılması genellikle Helmholtz denklemi ile modellenmiştir. Çözümün salınımlı karakterinden dolayı, ayrıştırma teknikleri, son on yılda ilgi odağı olmuştur. Bu tezde, bir mikrodalga ısıtmasında optimal kontrol probleminin sayısal çözümlerini incelemek asıl amaçtır. Mikrodalga ısıtma problemi dengedeki bir ısı denklemi ile Helmholtz denklemi birleştirilerek modellenmiştir. İlk başta, gerekli optimallik koşulları elde edilir. Optimalite sistemini bulmak için optimize et-sonra-ayrıklaştır yaklaşımı takip edilir. Lagrange fonksiyoneli optimalite koşullarını elde etmek için kullanılır. Ardından, sonlu elemanlar metodu ile durum ve eşlenik durum denklemleri ayrıklaştırılır. Son bölümde sayısal çözümler sunulacaktır.

Optimal control problems of the wave equations have been in interest for many years. Especially, control of acoustic and electromagnetic fields give rise to scattering control and cloaking problems. Then, the structure of the metametarials plays a crucial role in the control prolems. Recently, there have been many research related to material design optimization. Metamaterials may provide to control electromagnetic fields directions at will and to propose a design strategy. Electromagnetic and acustic wave propagations are usually modeled by the Helmholtz equation. Because of the oscillatory character of the solution, discretization techniques have been in interest over the last decade. In this thesis, we study numerical solutions of optimal control problem for a microwave heating. Microwave heating problem is modeled by Helmholtz equation coupled with a heat equation at equilibrium. At first, the necessary optimality conditions are obtained. Optimize-then-discretize approach is followed to get the optimality system. The Lagrange functional is used to obtain the optimality system. Then, finite element method is used to discretize the state and the adjoint state equations. We present the numerical solutions in the last chapter.